Question

6．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，D是BC的中点，P是BC上不同于D的点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若点P在BC的延长线上，其他条件不变，DE与DF还相等吗？若不相等，请说明理由；若相等，请给出证明．

Answer 1

分析 （1）连接AD，易证四边形AEPF是矩形，可得EP=AF，即可求得AF=PE=BE，即可证明△FAD≌△EBD，可得结论；
（2）连接AD，易证四边形AFPE是矩形，可得PF=AE，CF=FP，即可证明△AED≌△CFD，可得DE=DF．

解答 证明：（1）连接AD，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EP=AF，
∵∠A=90°，AB=AC
∴∠CAD=∠B=45°，AD⊥BC，BD=CD，
∵PE⊥AB，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴PE=BE，
∴AF=PE=BE，
在△FAD和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=BE}\\{∠FAD=∠B=45°}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△FAD≌△EBD（SAS），
∴DE=DF；
（2）连接AD，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，∴PF=AE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACD=∠CAD=45°，CD=AD，AD⊥BC，
∴∠DCF=∠DAE=135°，∠FCP=45°，
∴CF=FP，
在△AED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠EAD=∠FCD}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE=DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证三角形全等是解题的关键．