Question

14．已知△ABC为等边三角形，在图（1）中，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于点Q．
（1）请猜一猜：图（1）中∠BQM等于多少度？
（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图（2）所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ABC为等边三角形，易得AB=BC，∠ABC=∠C=60°，又由BM=CN，即可证得△ABM≌△BCN，然后由全等三角形的对应角相等，求得答案；
（2）由△ABC为等边三角形，易得AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，又由BM=CN，即可证得△ABM≌△BCN，然后由全等三角形的对应角相等，求得答案．

解答 解：（1）∠BQM=60°．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB=180°-∠ABC=120°，
∴∠BQM=180°-（∠CBN+∠AMB）=60°；

（2）成立．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠ACB}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠CBN+∠AMB=∠BAM+∠AMB=180°-∠ABC=120°，
∴∠BQM=180°-（∠CBN+∠AMB）=60°．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是利用SAS证得△ABM≌△BCN．