Question

15．观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
根据各式的规律，可推测：
（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ-1．
根据你的结论计算：
（1）1+2+2²+2³+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
（2）1+3+3²+3³+…+3²⁰¹³+3²⁰¹⁴的个位数字是3．

Answer 1

分析 （1）原式变形后，根据阅读材料中的方法计算即可得到结果；
（2）3的幂的末尾数字4个一循环，由2015除以3的余数即可得到个位数字．

解答 解：（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
根据各式的规律，可推测：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+x+1）=xⁿ-1；
故答案为：xⁿ-1；
（1）1+2+2²+2³+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
=（2-1）×（1+2+2²+2³+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴）
=2²⁰¹⁵-1；
故答案为：2²⁰¹⁵-1；

（2）3²⁰¹⁴+3²⁰¹³+3²⁰¹²+…+3²+3+1
=$\frac{1}{2}$×（3-1）（3²⁰¹⁴+3²⁰¹³+3²⁰¹²+…+3²+3+1）
=$\frac{{3}^{2015}-1}{2}$．
∵3的幂的末尾数字4个一循环，2015÷4=503…3，
∴3²⁰¹⁵的末尾数字是7，
则原式的末尾数字是3．
故答案为：3．

点评 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．