Question

如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=2cm，∠B=60°．
（1）可得梯形ABCD的周长L=

10

cm，面积S=

3

3

cm²；
（2）如图2，E、F分别为AD、BC边上的动点，连接EF．设BF=xcm，△BEF的面积为ycm²，

L

BE+BF

=k（k是常数）．
①试用含x的代数式表示y；
②如果

L

BE+BF

=

S

y

，且k为整数，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）作DM∥AB交BC与点E．则四边形ABCD是平行四边形，△DMC是等边三角形，即可求得CD，BE的长度，从而求得该梯形的周长；过点D作DN⊥MC，在等边三角形DMC中利用特殊角的三角函数的定义求得DF的长度，根据梯形的面积公式解答即可；
（2）①根据三角形BEF的高与梯形ABCD的高相等，列出等式2y=

3

x，从而用含x的代数表示y；
②根据

L

BE+BF

=

S

y

，

L

BE+BF

=k（k为常数），将已知量代入，即得到x（BF）的值．

解答：解：（1）如图1，作DM∥AB交BC与点M．则四边形ABMD是平行四边形，△DMC是等边三角形．
则BM=AD=2cm，MC=DC=AB=2cm．
则梯形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=AB+AD+BM+MC+CD=10cm．
过点D作DN⊥BC，则DN=sin∠C•CD=sin60°•CD=

3

2

×2=

3

；
故梯形ABCD的面积=（AD+BC）•DN÷2=3

3

；
故答案是：10；3

3

；

（2）如图2．
①∵△BEF与梯形ABCD等高，梯形ABCD的高DN=

3

，
∴S_△BEF=

1

2

BF×

3

=

1

2

3

x，即y=

3

2

x；
②∵

L

BE+BF

=

S

y

，

L

BE+BF

=k（k为常数），
∴ky=S，
∴k×

3

2

x=3

3

，
∴x=

6

k

，
∵0＜x≤4，k为整数，
∴x=1，2，3，
即BF的长为：1cm、2cm、3cm．

点评：本题考查了平行四边形的判定，梯形周长，面积的计算，及函数思想．注意x的取值范围应该根据题中BC的长度来确定．