Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

Answer 1

分析 分三种情形讨论即可．首先根据平行四边形的性质确定点M的横坐标，再利用待定系数法求出点M的坐标即可．

解答 解：如图，

∵抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A，B两点，
∴A（-1，0），B（3，0），
①当PM是对角线时，∵PM与AB互相平分，
∴点M的横坐标为2，
∴M（2，3）．
②当PM为边时，点M在y轴的右侧，此时点M的横坐标为4，
∴M（4，-5）．
③当PM为边时，点M在y轴的左侧时，此时点M的横坐标为-4，
∴M（-4，-21）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（2，3）或（4，-5）或（-4，-21）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，本题确定点M的横坐标是突破点，属于中考常考题型．