题目内容
【题目】如图，已知一次函数
的图象分别与x轴、y轴交于点A、C，与反比列函数
的图象在第一象限内交于点P，过点P作
轴，垂足为B，且
的面积为9．
点A的坐标为______，点C的坐标为______，点P的坐标为______；
已知点Q在反比例函数的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，使得
的周长最小，求出点M的坐标；
设点E是反比例函数在第一象限内图象上的一动点，且点E在直线PB的右侧，过点E作
轴，垂足为F，当
和
相似时，求动点E的坐标．
【答案】（1）
；
；
；（2）当
的周长最小时，点M的坐标为
；（3）动点E的坐标为
或
【解析】
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，设点P的坐标为
，由点P在一次函数
的图象上及
的面积为9，可得出关于a，b的二元二次方程，解之取其正值即可得出点P的坐标；
作点Q关于x轴的对称点
，连接
与x轴交于点M，连接QM，此时的周长最小，由点P的坐标可得出反比例函数解析式，结合点Q的横坐标可得出点Q，的坐标，由点P，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；
设点E的坐标为
，则点F的坐标为
，分
∽
和
∽两种情况考虑：
当∽时，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出点E的坐标；
当∽时，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，解之即可得出点E的坐标
综上，此题得解．
解：当
时，
，
解得：
，
点A的坐标为；
当
时，
，
点C的坐标为；
设点P的坐标为，则
，
解得：
，
舍去
，
点P的坐标为．
故答案为：；；．
如图1，作点Q关于x轴的对称点，连接与x轴交于点M，连接QM，此时的周长最小．
点
在反比例函数
图象上，
，即反比例函数解析式为
，
点Q的坐标为
，点的坐标为
．
设直线的解析式为
，
将，
代入
，得：
，
解得：
，
直线的解析式为
．
当时，
，
解得：
，
点M的坐标为，
当的周长最小时，点M的坐标为．
设点E的坐标为，则点F的坐标为．
分两种情况考虑
如图
：
当∽时，
，即
，
解得：
，
舍去，
点E的坐标为；
当∽时，
，即
，
解得：
，
舍去，
点E的坐标为
综上所述：当
和相似时，动点E的坐标为或
