Question

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积．

 

Answer 1

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF．

∴CE＝CF．   

（2）证明： 如图2，延长AD至F，使DF=BE．连接CF．

     由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG．

∴GE＝GF

∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD．   

（3）解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．

在直角梯形ABCD中，

∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，

又∠CGA＝90°，AB＝BC，

∴四边形ABCD 为正方形．

∴AG＝BC．

已知∠DCE＝45°，

根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG．                                          

所以10=4+DG，即DG=6.

设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6

在Rt△AED中，   ∵，即．

解这个方程，得：x＝12，或x＝－2（舍去）．

∴AB＝12．

所以梯形ABCD的面积为S=

答：梯形ABCD的面积为108.