Question

8．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC与BD交于O点，以O为顶点作∠POQ=∠ACB，∠POQ的两边分别交BC边于点P、Q（点P在点Q的左侧）．
（1）当OQ⊥BC时，求BP的长度；
（2）当∠POQ绕点O转动时，设BP=x，CQ=y，求y与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）联结AP，在∠POQ的转动过程中，是否存在△APO与△COQ相似？若存在，请求出这时BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理证明△COP∽△CBA，得到$\frac{CP}{CA}=\frac{CO}{BC}$，求出CP的长，计算即可；
（2）根据题意证明△BOQ∽△CPO，根据相似三角形的性质得到比例式计算即可；
（3）分△APO∽△COQ和△APO∽△ACP两种情况，根据相似三角形的判定和性质进行解答．

解答 解：（1）∵OQ⊥BC，
∴∠QOC+∠ACB=90°，
又∵∠POQ=∠ACB，
∴∠QOC+∠POQ=90°，
又∵∠ACB=∠PCO，
∴△COP∽△CBA，
∴$\frac{CP}{CA}=\frac{CO}{BC}$，
∴CP=$\frac{25}{4}$，
∴BP=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$；
（2）∵∠BOQ=∠BOP+∠POQ，∠CPO=∠OBP+∠BOP，又∠POQ=∠OBP，
∴△BOQ∽△CPO，
∴$\frac{BQ}{CO}=\frac{BO}{CP}$，
∴y=$\frac{39-8x}{8-x}$（0≤x≤$\frac{39}{8}$）；
（3）∵∠AOP=∠OQC，
当△APO∽△COQ时，∠PAO=∠ACB，即AP=CP，
（8-x）²=x²+36，
解得x=$\frac{7}{4}$；
当∠APO=∠ACB时，△APO∽△ACP，
$\frac{OA}{AP}$=$\frac{AP}{AC}$，即AP²=50，
则x²+36=50，
解得x=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查的是相似三角形的知识的综合运用，掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键．