Question

如图，已知△ABD和△CEF是斜边为2cm的全等直角三角形，其中∠ABD=∠FEC=60°，且B，D，C，E在同一直线上，DC=4．△ABD沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABD运动时间为t秒．
①当t为何值时，平行四边形ABFE是菱形？
②平行四边形ABFE可能是矩形吗？若可能，求出t的值和矩形的面积；若不可能，请说明理由．

Answer 1

考点：矩形的判定与性质,菱形的判定

专题：动点型

分析：①由△ABD和△CEF是斜边为2cm的全等直角三角形，易证得平行四边形ABFE是平行四边形；即可得当点D与点C重合时，四边形ABFE是菱形，则可求得t的值；
②由当四边形ABFE是矩形时，可得∠BAE=90°，又由∠ABD=∠FEC=60°，即可求得答案．

解答：解：①如图，当点D与点C重合时，四边形ABFE是菱形，
∵Rt△ABD≌Rt△FEC，
∴AB=EF，∠ABD=∠FEC，
∴AB∥EF，
∴平行四边形ABFE是平行四边形；
∵AD⊥BE，CF⊥BE，
∴AF⊥BE，
∴四边形ABFE是菱形，
∵DC=4，
∴△ABD运动的距离为4cm，
∴t=4；
②能．
当四边形ABFE是矩形时，∠BAE=90°，
∴∠BEA=90°-60°=30°，
∵AB=2cm，
∴BE=2AB=4cm，BD=1cm，
∴C′D′=4-1-1=2（cm），AE=

BE2-AB2

=2

3

（cm），
∴t=2，S_矩形ABFE=2S_△ABE=2×

1

2

×2×2

3

=4

3

（cm²）．

点评：此题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．