Question

13．△ABC，△BDE为等边三角形，连接AD，CE．
（1）图中有几对全等三角形．
（2）证明MN∥AE．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，得出∠CBD=60°，∠ABD=∠CBE=120°，由SAS证明△ABD≌△CBE，得出∠BDM=∠BEN，∠BAM=∠BCN，由ASA证明△ABM≌△CBN，同理：△BEN≌△BDM；
（2）由全等三角形的性质得出BM=BN，证出△BMN是等边三角形，得出∠BMN=60°=∠ABC，即可得出结论．

解答 （1）解：图中有3对全等三角形；理由如下；∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BD=BE，
∴∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠CBE=120°，
在△ABD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABD=∠CBE}&{\;}\\{BD=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BDM=∠BEN，∠BAM=∠BCN，
在△ABM和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠BCN}&{\;}\\{AB=CB}&{\;}\\{∠ABM=∠CBN=60°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
同理：△BEN≌△BDM；
（2）证明：由①得：△ABM≌△CBN，
∴BM=BN，
∵∠CBD=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴∠BMN=60°=∠ABC，
∴MN∥AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明△ABD≌△CBE是解决问题的突破口．