Question

18．已知FGBA与EDAC为正方形，求证：S_△AEF=S_△ABC．

Answer 1

分析 过C作CK⊥AB交BA延长线于K，过E作EH⊥AF于H，于是得到∠K=∠EHA=∠HAK=90°，由四边形AFGB和四边形ACDE是正方形，得到AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠CAE=90°，推出△AHE≌△ACK，根据全等三角形的性质得到EH=CK，于是得到结论．

解答 证明：过C作CK⊥AB交BA延长线于K，过E作EH⊥AF于H，
则∠K=∠EHA=∠HAK=90°，
∵四边形AFGB和四边形ACDE是正方形，
∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠CAE=90°，
∴∠HAE+∠EAK=∠CAK+∠EAK=90°，
∴∠HAE=∠CAK，
在△AHE和△ACK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠CAK}\\{∠AHE=∠K}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴△AHE≌△ACK，
∴EH=CK，
∵AB=AF，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CK，S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EH，
∴S_△ABC=S_△AEF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的应用，关键是作辅助线后求出EH=CK．