Question

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+2mx-3+4m-m²的对称轴是直线x=1
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D（n，y₁），E（3，y₂）在抛物线上，若y₁＞y₂，请直接写出n的取值范围；
（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当-1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点形成的图象与直线y=kx-4（k≠0）有交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将原抛物线的解析式配方化为顶点式，根据对称轴x=1列式可得m的值；
（2）把点E的横坐标代入y=-x²+2x求得E的坐标，根据对称轴得到其对称点，再由图形写出n的取值；
（3）先确定M的对称点的取值，及原抛物线关于y轴对称的抛物线，即可以看作是沿y轴翻折所得，计算两个边界点时直线y=kx-4的k值，写出结论即可．

解答 解：（1）∵y=-x²+2mx-m²-3+4m=-（x-m）²+4m-3，
对称轴是对称轴是直线x=1，
∴m=1，
∴抛物线的表达式为：y=-x²+2x；

（2）如图1：

当x=3时，y=-x²+2x=-9+6=-3，
∵抛物线的对称轴为x=1，
则E（3，y₂）关于x=1对称点的坐标为（-1，-3），
由图象可知，-1＜n＜3时，y₁＞y₂；

（3）由题意可得M′（-p，q），翻折后的函数表达式为y=-x²-2x，
∴结合-1＜p＜2，确定动点M及M′，
当x=-1时，y=-3；当x=2时，y=0，
因为动点M与M’关于y轴对称，所以图象确定如下，如图2，

当过（1，-3）时，代入 y=kx-4，k=1，
当过（-2，0）时，代入 y=kx-4，k=-2，
综上所述：k＞1或k＜-2．

点评 本题考查了利用条件确定二次函数的解析式、一次函数图象与系数k的关系、关于坐标轴对称的点的特点，运用了数形结合的思想，第三问的关键是理解“点M关于y轴的对称点形成的图象”，正确画出符合条件的图象，此题有难度，尤其是第三问．