Question

9．如图，弦AB的长为6，线段OF分别平分弦AC、弦AB和$\widehat{AC}$，D、F为交点，BD与OC相交于点E．求OE的长．

Answer 1

分析 连接BC，根据垂径定理得到OF⊥AC，根据三角形的中位线的性质得到OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，由圆周角定理得到AB是⊙O的直径，通过△ODE∽△BCE，得到$\frac{OE}{CE}=\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，即可得到结论．

解答 解：连接BC，
∵线段OF分别平分弦AC、和$\widehat{AC}$，
∴OF⊥AC，
∵OF分别平分弦AC、弦AB，
∴OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴OC=OB=3，
∵OD∥BC，
∴△ODE∽△BCE，
∴$\frac{OE}{CE}=\frac{OD}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OE=$\frac{1}{3}$OC=1．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形的中位线的性质，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键．