Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC．
（1）求证：CO平分∠ACB
（2）若AC=2，BC=4，求OC的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）过点O作OM垂直于CA于点N，作ON垂直于CB于点N，易证四边形MCNO是矩形，利用已知条件再证明△AOM≌△BON，因为OM=ON，所以CO平分∠ACB；
（2）因为△AOM≌△BON，所以AM=BN，进而求出CN的长，根据勾股定理即可求出OC的长．

解答：（1）证明：过点O作OM垂直于CA于点N，作ON垂直于CB于点N，
∴∠OMC=∠ONC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴四边形MCNO是矩形，
∴∠MON=90°，
∵正方形 ABDE对角线交于点O，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠MON-∠AON=∠AOB-∠AON，
∴∠AOM=∠NOB，
∵∠OMA=∠ONB=90°，
在△AOM和△BON中，

∠AOM=∠BON ∠OMA=∠ONB=90° OA=OB

，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM=ON，
∴CO平分∠ACB                                   

（2）解：∵△AOM≌△BON，
∴AM=BN，
∵AC=2，BC=4
∴CN=

AC+BC

2

=3，
∵∠OCN=45°，
∴ON=CN=3，
由勾股定理得OC=3

2

．

点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．