Question

【题目】在证明定理“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，小明给出如下部分证明过程．

已知:在中，分别是边的中点．

求证： ．

证明：如图，延长到点，使，连接，

···

（1）补全求证：

（2）请根据添加的辅助线，写出完整的证明过程；

（3）若求边的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），且；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）根据需要证明的定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，即可写出答案；

（2）根据已知以及添加的辅助线，可证得△ADE△CFE，进而可证明四边形BDFC是平行四边形，又因为DE=FE，即可证明结论；

（3）在△ABC中，利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求解．

（1）根据题意，求证为：DE//BC，且DE=BC，

（2）点E是AC的中点，

∴AE=CE，

又∵EF=ED，∠AED=∠CEF，

∴△ADE△CFE，

∴AD=CF，∠A=∠ECF，

∴AD//CF，

∴AB//CF，

∵点D是AB的中点，

∴AD=BD，

∴BD=CF，

∴四边形BDFC是平行四边形，

∴DE//BC，DF=BC，

∵DE=FE，

∴DE=BC．

（3）∵DF=8，

∴BC=8，

∵CE=3，

∴AC=6，

∴BC-ACABBC+AC，即2AB．