Question

已知：直线AB：y=

1

2

x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，另外有点C（0，2）和点M（m，0）．⊙M以MC为半径，⊙M与直线AB相切，求经过点A、B、M的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：先求出A、B两点的坐标，再根据三角形相似的性质求出符合条件的M点的坐标，将A、B、M三点坐标代入解析式即可求得经过点A、B、M的抛物线的解析式．

解答：解：可以求得：点A（-6，0），B（0，3），（2分）
设⊙M与直线AB相切于点N，则Rt△AMN∽Rt△ABO，（2分）
∴AM：AB=MN：BO，且MN=MC，（1分）
∵MC=

m2+22

，
∴（m+6）：3

5

=

m2+22

：3，（1分）
∴m²-3m-4=0，
∴m₁=-1，m₂=4，
∴M₁（-1，0）、M₂（4，0）．（2分）
过点A、B、M₁的抛物线的解析式：y=

1

2

（x+6）（x+1），即y=

1

2

x²+

7

2

x+3；（2分）
过点A、B、M₂的抛物线的解析式：y=-

1

8

（x+6）（x-4），即y=-

1

8

x²-

1

4

x+3（2分）

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．