Question

11．已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=7$\sqrt{2}$，BC=17，以AC为斜边在△ABC外作等腰Rt△ACD，连接BD，则BD的长为$\frac{25\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 显然直接求BD不好入手，那么就将问题进行转化．注意到△ACD为等腰Rt△，于是以AB为腰向左作等腰Rt△ABE，则易证△ABD与△AEC相似，相似比为$\frac{1}{\sqrt{2}}$，从而只需求出EC即可，此时∠EBC=135°，于是过E作EF⊥BC于F，则△EFB也为等腰Rt△，算出EF、BF，进而算出EC，问题迎刃而解．

解答 解：以AB为腰作等腰Rt△ABE，连接EC，

∵△ADC为等腰Rt△，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{AB}{AE}$，∠EAB=∠DAC=45°，
∴∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，
∴∠EAC=∠DAB，
∴△EAC∽△BAD，
∴$\frac{BD}{EC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
作EF⊥BC交BC延长线于F，
∵∠ABC=45°，∠EBA=90°，
∴∠EBF=45°，
∴△EFB为等腰Rt△，
∴EF=FB=$\frac{\sqrt{2}}{2}EB$=$\frac{\sqrt{2}}{2}AB$=7，
∴EC=$\sqrt{E{F}^{2}+F{C}^{2}}$=25，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}EC$=$\frac{25\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点，有一定难度．正确作出辅助线是本题的难点．