Question

9．A、B两地相距20km，B在A的北偏东45°方向上，一森林保护中心P在A的北偏东30°和B的正西方向上，现计划修建的一条高速公路将经过AB（线段），已知森林保护区的范围在以点P为圆心，半径为4km的圆形区域内，请问这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？（sin15°=0.259，cos15°=0.966，tan15°=0.268）

Answer 1

分析 过P作PM⊥AB于M，延长BP作BC⊥AC于C．在直角△APC中，运用三角函数用求出AC，BC的长．在直角△PCA中，运用三角函数求出PC的长，从而得到PB的长．在直角△PMB中，运用三角函数求出PM，比较PM与4km的大小关系即可．

解答 解：延长BP作BC⊥AC于C，过P作PM⊥AB于M．
因为B在A的北偏东45°方向上，
所以A在B的南偏西45°方向．
在Rt△ABC中，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴AC=BC=10$\sqrt{2}$．
在直角△PCA中，
∠PAC=30°，则PC=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$，
∴PB=10$\sqrt{2}$-$\frac{10\sqrt{6}}{3}$，
在直角△PMB中，
PM=（10$\sqrt{2}$-$\frac{10\sqrt{6}}{3}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10-$\frac{10\sqrt{3}}{3}$≈4.226．
∵4.226＞4，
∴这条高速铁路不会穿越保护区．

点评 考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据三角函数求出PM的长是解决本题的关键．