Question

【题目】如图，在中，AB为的直径，C为上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．

（1）求证：DP是的切线；

（2）若AC=5，,求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AP=．

【解析】

（1）根据题意连接OP，直接利用切线的定理进行分析证明即可；

（2）根据题意连接BC，交于OP于点G，利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.

解：（1）证明：连接OP；

∵OP=OA;

∴∠1=∠2；

又∵P为D的中点；

∴

∴∠1=∠3；

∴∠3=∠2；

∴OP∥DA；

∵∠D=90°；

∴∠OPD=90°；

又∵OP为O半径；

∴DP为O的切线；

（2）连接BC，交于OP于点G；

∵AB是圆O的直径；

∴∠ACB为直角；

∵

∴sin∠ABC=

AC=5,则AB=13,半径为

由勾股定理的BC=，那么CG=6

又∵四边形DCGP为矩形；

∴GP=DC=6.5-2.5=4

∴AD=5+4=9;

在Rt△ADP中，AP=.