Question

14．如图，已知正比例函数y₁=x的图象与反比例函数y₂=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象交于A、B两点．
（1）若点B的横坐标为n，则点A的坐标为（-n，-n）；（用含n的代数式表示）
（2）若AB的长度为4$\sqrt{2}$，求反比例函数的关系式；
（3）在（2）的条件下，若y₁＞y₂，则x的取值范围为-2＜x＜0或x＞2．（直接写答案）

Answer 1

分析 （1）由正、反比例函数图象的对称性结合点B的横坐标即可得出点A的坐标；
（2）设点B的坐标为（n，n），则点A的坐标为（-n，-n），由两点间的距离公式结合AB=4$\sqrt{2}$，即可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，此题得解；
（3）根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出当y₁＞y₂时，x的取值范围．

解答 解：（1）∵正、反比例函数图象关于原点对称，点B的横坐标为n，
∴点A的坐标为（-n，-n）．
故答案为：（-n，-n）．
（2）设点B的坐标为（n，n），则点A的坐标为（-n，-n），
∴AB=2$\sqrt{2}$n=4$\sqrt{2}$，
解得：n=2，
∴点B的坐标为（2，2）．
又∵点B在y=$\frac{k}{x}$上．
∴2=$\frac{k}{2}$，
∴k=4．
∴反比例函数的关第式为y=$\frac{4}{x}$．
（3）观察函数图象，可知：当-2＜x＜0或x＞2时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，
∴若y₁＞y₂，则x的取值范围为-2＜x＜0或x＞2．
故答案为：-2＜x＜0或x＞2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、正、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）根据正、反比例函数图象的对称性找出点A的坐标；（2）由两点间的距离公式结合AB=4$\sqrt{2}$，求出点B的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集．