Question

7．如图，菱形ABCD中，E为BC中点，DE与对角线AC交于点F，CF=DF．
（1）求证：DE⊥BC；
（2）若CE=1，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）首先过点F作FM⊥CD于点M，由CF=DF，可得M是CD的中点，又由菱形ABCD中，E为BC中点，利用SAS可判定△CFM≌△CFE，即可证得DE⊥BC；
（2）由CE=1，可求得BC=CD=2，然后由勾股定理求得DE的长，继而求得菱形ABCD的面积．

解答 （1）证明：过点F作FM⊥CD于点M，
∵CF=DF，
∴CM=$\frac{1}{2}$CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠MCF=∠ECF，BC=CD，
∵E为BC中点，
∴CE=CM，
在△CFM和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CM}\\{∠ECF=∠MCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CFM≌△CFE（SAS），
∴∠CEF=∠CMF=90°，
即DE⊥BC；

（2）解：∵CE=1，
∴BC=CD=2CE=2，
∵DE⊥BC，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S菱形ABCD=BC•DE=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．注意辅助线的构造是关键．