Question

8．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：DB=CF；
（2）当△ABC满足AC=BC时（请添加一条件），四边形BDCF为矩形，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠EAD=∠CFE，根据AAS证△AED≌△FEC，推出AD=CF，根据AD=BD即可求出答案；
（2）根据等腰三角形性质求出∠CDB=90°，根据平行四边形的判定推出平行四边形BDCF，即可推出四边形是矩形．

解答 （1）证明：∵CF∥AB，
∴∠EAD=∠CFE，
∵E是CD的中点，
∴CE=DE，
∵在△AED和△FEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠CFE}\\{∠CEF=∠DEA}\\{CE=ED}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD=CF，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF．

（2）解：在△ABC中添加一个条件：AC=BC，使四边形BDCF为矩形，
理由是：∵BD=CF，CF∥AB，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴平行四边形BDCF是矩形，
故答案为：AC=BC．

点评 本题考查了矩形、平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，主要考查学生能否熟练地运用性质进行推理，题型较好，难度适中．