Question

已知如图，抛物线与x轴相交于B（1，0）、C（4，0）两点，与y轴的正半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A．

（1）请求出点A坐标和⊙P的半径；

（2）请确定抛物线的解析式；

（3）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D．若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）．

Answer 1

（1）∵OA是⊙P的切线，OC是⊙P的割线．

∴OA²=OB×OC     即OA²＝1×4

∴OA＝2    即点A点坐标是(0，2)

连接PA，过P作PE交OC于E显然，四边形PAOE为矩形，

故PA＝OE

∵PE⊥BC   ∴BE=CE   又BC=3，故BE＝

∴PA＝OE=OB＋BE＝1＋＝即⊙P的半径长为．

（2）抛物线的解析式是： 

（3）根据题意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有两

种情况  

①∠ABD和∠AOB对应，此时AD

是⊙P的直径则AB=，AD=5

∴BD=2

∵Rt△AMB∽Rt△DAB

∴MA：AD=AB：BD  

即MA= 

∵Rt△AMB∽Rt△DMA ∴MA：MD=MB：MA

即MB·MD=MA²=②∠BAD和∠AOB对应，此时BD是

⊙P的直径，所以直线MB过P点

∵B（1，0），P（

∴直线MB的解析式是：

 

∴M点的坐标为（0，

∴ AM=  由△MAB∽△MDA  得MA：MD=MB：MA

∴MB·MD=MA²=