Question

【题目】如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点c直线y＝﹣x+4经过点B、C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点M，交直线BC于点N，连接AC，当直线y＝kx+k平分△ABC的面积，求点M的坐标；

（3）如图2，把抛物线位于x轴上方的图象沿x轴翻折，当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）M(，)；（3）k的取值范围是﹣5＜k＜0．

【解析】

（1）由直线y=-x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），则二次函数表达式为：y=ax2-3ax+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；

（2）求出A的坐标，过点N作NG⊥AB于G，则根据直线y＝kx+k平分△ABC的面积有 ，即可求出N的坐标,从而求出直线AM的解析式,再与抛物线解析式联立方程即可求M的坐标；

（3）根据翻折的现在知翻折部分的函数表达式是 ，根据翻折的部分图象只有一个交点，则联立方程后判别式为零即可.

（1）由直线y＝﹣x+4知，点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），

把点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），

代入y＝ax2﹣3ax+c，得解得

∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4

（2）由y＝﹣x2+3x+4，求得A（﹣1，0）

过点N作NG⊥AB于G，

∵直线y＝kx+k平分△ABC的面积，

∴，

∴当x＝2时，2＝﹣x+4，∴x＝2

∴N（2，2）

把N（2，2）代入y＝kx+k，得，

∴直线AM的解析式为，

由解得

∴

（3）翻折部分的函数表达式是

当直线y＝kx+k与翻折后的图象只有一个交点时，

由，得x2﹣3x﹣4＝kx+k，

整理，得x2﹣（k+3）x﹣（k+4）＝0

△＝[﹣（k+3）]2﹣4×[﹣（k+4）]＝k2+10k+25＝0

解得k1＝k2＝﹣5

∴当直线y＝kx+k与翻折后的整个图象只有三个交点时，k的取值范围是﹣5＜k＜0．