Question

【题目】如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；

（3）如果BE=10，sinA=，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）30°；（3）.

【解析】试题分析：（1）连接 圆的半径相等和已知条件证明,即可证明 是的切线；
（2）连接 首先证明是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠的度数；
（3）过点O作OG⊥AB于点G，得到AG=BG，在中设DE=5x，则AE=13x，AD=12x，AO=24x，把表示出来，在中，用三角函数的知识列出方程，解出得值，即可求出半径.

试题解析：(1)证明：连接OB，

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC.

又∵CD⊥OA.

∴OB⊥BC

∴BC是的切线.

(2)连接OF,AF,BF,

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF，

∵OA=OF，

∴△OAF是等边三角形，

(3)连接OF，AF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴AF=OF=OA,

过点O作OG⊥AB于点G，得到AG=BG，

在中

设DE=5x，则AE=13x，AD=12x，AO=24x，

∵BE=10，∴AB=10+13x.

则

又∵中, 则

则

解得