Question

10．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）本题首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．
（2）根据题意列出y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性和（1）得到的取值范围即可求得最大利润．

解答 解：（1）设生产A种产品x件，那么B种产品（50-x）件，则：
$\left\{\begin{array}{l}{9x+4（50-x）≤360}\\{3x+10（50-x）≤290}\end{array}\right.$，
解得：30≤x≤32，
∵x为正整数，
∴x=30、31、32，
依x的值分类，可设计三种方案：
①安排A种产品30件，B种产品20件；
②安排A种产品31件，B种产品19件；
③安排A种产品32件，B种产品18件．
（2）设安排生产A种产品x件，
那么利润为：y=700x+1200（50-x），
整理得：y=-500x+60000，
∵k=-500＜0，
∴y随x的增大而减小，
x=30、31、32，
∴当x=30时，对应方案的利润最大，y=-500×30+60000=45000，最大利润为45000元．
∴当安排A种产品30件，B种产品20件，对应方案的利润最大，最大利润为45000元．

点评 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键．