Question

9．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2016个内接正方形的边长为（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 先求出第一个、第二个、第三个正方形的边长，探究规律后即可解决问题．

解答 解：∵AB=AC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，BC=$\sqrt{2}$AC=3
∵四边形GDEF是正方形，
∴∠GDE=∠FED=90°，GF=GD=DE=EF，
∴∠BDG=∠CEF=90°，
∴∠B=∠BGD=45°，∠C=∠EFC=45°，
∴BD=DG=DE=EC=EF，
∴DE=$\frac{1}{3}$BC=1，
∴第一个正方形边长为1，设第二个正方形边长为x，
∵∠JDH=∠DPG，∠DGP=∠DHJ=90°，
∴△DGP∽△JHD，
∴$\frac{DG}{JH}$=$\frac{GP}{DH}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}}{DH}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$x，同理，IE=$\frac{1}{2}$x，
∵DE=DH+HI+IE，
∴1=2x，
∴x=$\frac{1}{2}$，
∴第二个正方形边长为$\frac{1}{2}$=（$\frac{1}{2}$）¹，同理第三个正方形边长为$\frac{1}{4}$=（$\frac{1}{2}$）²，…，
∴第2016个内接正方形的边长为（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵，
故答案为（$\frac{1}{2}$）²⁰¹⁵．

点评 本题考查正方形的性质．相似三角形的判定和性质、规律题型等知识，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．