题目内容

对于每个非零自然数n，抛物线 $数学公式$ 与x轴交于A_n、B_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+A₂₀₁₀B₂₀₁₀的值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：由题意n为自然数，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A_nB_n两点，关键是把方程x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =0分解因式，求出方程的解，从而发现规律来解题．
解答：∵抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A_n、B_n两点，
令y=0得，x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =0，
∴方程分解为：（x- $\text{[math]}$ ）（x- $\text{[math]}$ ）=0，
∴A_nB_n= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴A₁B₁+A₂B₂+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
=1- $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
故选：A．
点评：此题此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，要充分运用这一点来解题．解此题的关键是要会分解因式，找出A_nB_n的表达式．

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