Question

（1）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n，B_n两点，以A_n，B_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₀B₂₀₁₀的值是

 

．
（2）如图，以正方形ABCD的边CD为直径作⊙O，以顶点C为圆心、边CD为半径作BD，E为BC的延长线上一点，且CD、CE的长恰为方程x2-2(

3

+1)x+4

3

=0的两根，其中CD＜CE，连接DE交⊙O于点F，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

分析：（1）首先利用因式分解求得抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n，B_n两点的坐标，代入数值计算解决问题；
（2）首先解方程x2-2(

3

+1)x+4

3

=0，求得CD、CE的长，进一步分割图形，利用锐角三角函数、扇形的面积、三角形的面积计算方法求得问题的解．

解答：解：如图，
（1）因为抛物线y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n，B_n两点，
令y=0得，x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0，
即（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0，
解得x₁=

1

n

，x₂=

1

n+1

，
可令A_n=

1

n

，B_n=

1

n+1

；
则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

，
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

，
=1-

1

2011

，
=

2010

2011

；
故答案为

2010

2011

；

（2）连接CF，
∵CD、CE的长为方程x²-2（

3

+1）x+4=0的两根；
∴CE=2

3

，CD=2；
∵∠DCE=90°，
∴tan∠CDE=

CE

CD

=

3

，
∴∠CDE=60°；
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°；
∴DF=

1

2

DC=

1

2

×2=1．
连接OF，
∵∠CDE=60°，OD=OF，
∴△DOF是等边三角形；
∴OD=OF=DF=1；
∴S_△DOF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，S_扇形FOC=

120π×12

360

=

π

3

，
S_阴影FEC=S_△DCE-S_△DOF-S_扇形FOC=

1

2

×2×2

3

-

3

4

-

π

3

=

7 3

4

-

π

3

，
S_阴影DBC=S_扇形BCD-S_半圆O=

90π×22

360

-

1

2

π×1²=

1

2

π，
∴S_阴影=S_阴影FCE+S_阴影DBC=

7 3

4

-

π

3

+

1

2

π=

7 3

4

+

π

6

，
故答案为：

7 3

4

+

π

6

．

点评：此题考查解一元二次方程、锐角三角函数、扇形的面积、三角形的面积计算方法以及利用规律解答计算题．