Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n，B_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉的值是（　　）

• A、

  2009

  2008

• B、

  2008

  2009

• C、

  2010

  2009

• D、

  2009

  2010

Answer 1

分析：本题就是将非零自然数n分别代入抛物线得出与x轴交点的各个值，分别算出两交点间的距离再求出它们的和．

解答：解：将n=1，2，3，4…分别代入抛物线得y=x²-

3

2

x+

1

2

，y=x²-

5

6

x+

1

6

，y=x²-

7

12

x+

1

12

，…；
分别解得x₁=1，x₂=

1

2

，x₃=

1

2

，x₄=

1

3

，x₅=

1

3

，x₆=

1

4

，…；
∴A₁B₁=1-

1

2

，A₂B₂=

1

2

-

1

3

，A₃B₃=

1

3

-

1

4

，…，A₂₀₀₉B₂₀₀₉=

1

2009

-

1

2010

；
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故选D．

点评：此题是一道开放题，需要先代入几个特殊值，找出规律，然后解答．