Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n、B_n两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉的值是

 

．

Answer 1

分析：先化简抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

，然后求出一元二次方程的根，根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可．

解答：解：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）
故抛物线与x轴交点坐标为（

1

n

，0）和（

1

n+1

，0）
由题意，AnBn=

1

n

-

1

n+1

那么，A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）
=1-

1

2010

=

2009

2010

．

点评：（1）本题考查的是二次函数与一元二次方程，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；
（2）求两点间的距离时，要利用两点间的坐标差来解答．