Question

对于每个非零自然数n，抛物线y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

与x轴交于A_n，B_n、两点，以A_nB_n表示这两点间的距离，则A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃的值是

2013

2014

．

Answer 1

分析：先转换抛物线解析式为两点式：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

），则易求该抛物线与x轴的两个交点；然后求出一元二次方程的根，根据两点间的坐标差求出距离，找出规律解答即可．

解答：解：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

），
则故抛物线与x轴交点坐标为（

1

n

，0）、（

1

n+1

，0）．
由题意知，AnBn=

1

n

-

1

n+1

，
那么，A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃，
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

），
=1-

1

2014

，
=

2013

2014

．
故答案是：

2013

2014

．

点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答过程中，注意二次函数与一元二次方程之间的联系，并从中择取有用信息解题；求两点间的距离时，要利用两点间的坐标差来解答．