Question

9．平行四边形ABCD两条对角线交于点G，∠DBC=∠ACB，以AB为直径作⊙O，分别交BD、AC于点E、点F，点E、点F分别是$\widehat{AB}$的三等分点，当BC=6时，求EF的长．

Answer 1

分析 根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOF=∠EOF=∠BOE=60°，求出△AOF和△FOE都是等边三角形，根据等边三角形的性质得出EF=OF=OA=$\frac{1}{2}$AB，∠OAF=60°，解直角三角形求出AB即可．

解答 解：如图：
连接OF、OE，
∵点E、点F分别是$\widehat{AB}$的三等分点，
∴∠AOF=∠EOF=∠BOE=60°，
∵OA=OB=OE=OF，
∴△AOF和△FOE都是等边三角形，
∴F=OF=OA=$\frac{1}{2}$AB，∠OAF=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵BC=6，
∴AB=$\frac{BC}{tan60°}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EF=OA=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，解此题的关键是求出EF=$\frac{1}{2}$AB和求出AB的长，难度适中．