Question

【题目】在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过直角顶点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．

（1）如图，若AD＝1，BE＝3，求DE的长度．

（2）当直线l绕C点转动时，若AD＝a，BE＝b．请画出示意的图形并用含a、b的代数式直接表示出DE的长．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）见解析.

【解析】

（1）证明△ACD≌△CBE（AAS）．得出CD＝BE＝3，AD＝CE＝1，即可得出答案；

（2）分三种情况讨论，分别作出图形，证明△ACD≌△CBE（AAS），得出CD＝BE＝b，AD＝CE＝a，然后表示出DE即可.

解：（1）∵∠ACB＝90°，AD⊥l于D，BE⊥l于E，

∴∠DCA+∠BCE＝90°，

又∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠ACD＝∠CBE，

又∠ADC＝∠CEB＝90°，且AC＝BC，

在△ACD与△CBE中，，

∴△ACD≌△CBE（AAS）．

∴CD＝BE＝3，AD＝CE＝1，

∴DE＝CD﹣CE＝3﹣1＝2；

（2）分三种情况：

①如图1所示：

同（1）得：∴△ACD≌△CBE（AAS），

∴CD＝BE＝b，AD＝CE＝a，

∴DE＝CD﹣CE＝b﹣a；

②如图2所示：

同（1）得：△ACD≌△CBE（AAS）．

∴CD＝BE＝b，AD＝CE＝a，

∴DE＝CE﹣CD＝a﹣b；

③如图3所示：

同（1）得：△ACD≌△CBE（AAS）．

∴CD＝BE＝b，AD＝CE＝a，

∴DE＝CE+CD＝a+b．