题目内容
在如图所示的平面直角坐标系中,点C在y轴的正半轴上,四边形OABC为平行四边形,OA=2,∠AOC=60°,以OA为直径的⊙P经过点C,交BC于点D,DE⊥AB,交AB于E｡
(1)求点A和B的坐标;
(2)求证:DE是⊙P的切线;
(3) 小明在解答本题时,发现连结DA并延长,交x轴于点N,则△AON是等腰三角形.由此,他断定:“x轴上一定存在除点N以外的点Q,使△AOQ也是等腰三角形,且点Q一定在⊙P外”.你同意他的看法吗?请充分说明理由.
(1)解:连结AC,∵ OA为⊙P的直径,∴ ∠ACO=90°,
又∵ OA=2,∠AOC=60°,∴ OC=1,AC=
,
∴ A点坐标为(,1),
∵ OABC为平行四边形,∴ AB=OC,∴ B点坐标为(,2)｡
(2)证明:连结P D．AD,
∵四边形OABC是平行四边形,∴CD∥OA,∴弧OC=弧AD,∴OC=AD,
∴四边形OADC为等腰梯形,
∴∠DAO=∠AOC=60°,∵PA=PD,
∴△PAD为等边三角形,∴∠PDA=60°,
∵∠BAO=180°-60°=120°,∠DAO=60°,
∴∠BAD=60°, ∴∠BAD=∠PDA,∴PD∥AB,
∵DE⊥AB,∴DE⊥PD, ∴DE是⊙P的切线｡
(3)解:不同意｡理由如下::
①当OA=OQ时,
以点O为圆心,OA为半径画弧交x轴于Q1和Q3两点,
得点Q1(-2,0),Q3(2,0)
②当OQ=AQ时,作OA的中垂线,交x轴于点Q2,
OQ2=
<,点Q2(
,0)｡
因此,在x轴上,除了N点外,既存在⊙P内的点Q2,又存在⊙P外的点Q1、Q3,它们分别使△AOQ为等腰三角形｡
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期末冲刺100分创新金卷完全试卷系列答案
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