Question

3．某汽车销售公司销售某种型号的汽车，每辆车进价6万元，售价为x万元，经市场调查发现销售量y与销售价x的关系如图．
（1）请求出销售利润W与销售价x的关系式，并求出销售价x为多少时，利润W最大，最大值是多少？
（2）今年12月份销售价为10万元，12月中旬由于油价上涨等诸多因素，可能明年将影响到销售量，公司做了全面的调查研究发现：同时把销售价下调a%，销售量就会比不降价时提高3a%．结果利润仍然有114万元，请确定a的值．（精确到0.01）（注：$\sqrt{6}=2.449$$\sqrt{7}=2.646$$\sqrt{8}=2.829$）

Answer 1

分析 （1）由图可知销售量y与销售价x是一次函数，设出函数解析式，求得y与x之间的关系式，进一步利用销售利润=每一辆的销售利润×销售量得出销售利润W与销售价x的关系式，利用二次函数的性质求得最大值即可；
（2）利用用销售利润=每一辆的销售利润×销售量得出关于a的一元二次方程，求得方程的解，确定a的数值即可．

解答 解：（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b，
由图知$\left\{\begin{array}{l}16k+b=0\\ b=80\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-5\\ b=80\end{array}\right.$．
因此y=-5x+80，
则销售利润W与销售价x的关系式：W=（x-6）（-5x+80）=-5x²+110x-480；
∵W=-5x²+110x-480=-5（x-11）²+125，-5＜0，
∴x=11时，W_最大=125，
即销售价x为11万元时，利润W最大，最大值125万元．
（2）由（1）知y=-5x+80，
当x=10时，y=30，
由题意得：[10（1-a%）-6]×30（1+3a%）=114，
解得：a₁=$\frac{{20-20\sqrt{7}}}{6}$＜0（不符合题意，舍去），a₂=$\frac{{20+20\sqrt{7}}}{6}$≈12.15．
答：确定a的值是12.15．

点评 此题考查二次函数的实际运用，一元二次方程的实际运用，待定系数法求函数解析式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．