Question

8．已知：CA=CB，AD平分∠CAB，且AB=AC+CD，求证：AC⊥BC．

Answer 1

分析 在AB上截取AE=AC，连接DE，于是得到BE=CD，根据角平分线的定义得到∠CAD=∠EAD，推出△ACD≌△ADE，根据全等三角形的性质得到DE=CD，∠C=∠AED，于是得到DE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BDE，∠CAB=∠B，等量代换得到∠C=∠DEB=∠DEA，即可得到结论．

解答 证明：在AB上截取AE=AC，连接DE，
∵AB=AC+CD，
∴BE=CD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACD与△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ADE，
∴DE=CD，∠C=∠AED，
∴DE=BE，
∴∠B=∠BDE，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠B，
∴∠C=∠DEB=∠DEA，
∴∠DEA=$\frac{1}{2}×$180°=90°，
∴∠C=90°，
∴AC⊥BC．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．