Question

如图，直线与抛物线相交于A，B两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且。
（1）求b的值；
（2）求证：点在反比例函数的图象上；
（3）求证：。

Answer 1

（1）
（2）把直线解析式化为，代入得到关于y的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，从而点在反比例函数的图象上。
（3）首先根据勾股定理和逆定理证明△OAB是直角三角形，从而得到△AEO∽△OFB，得比例式即可得证。

分析：（1）由直线与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，求出OC，OD，从而根据已知列式求解即可。
（2）把直线解析式化为，代入得到关于y的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系，得到，从而点在反比例函数的图象上。
（3）首先根据勾股定理和逆定理证明△OAB是直角三角形，从而得到△AEO∽△OFB，得比例式即可得证。
解：（1）∵直线与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，
∴令x=0，得；令y=0，得。∴OC=，OD=。
∴△OCD的面积。
∵，∴，解得。
∵ ，∴。
（2）证明：由（1），直线解析式为，即，代入，得，
整理，得。
∵直线与抛物线相交于A，B，
∴，是方程的两个根。
∴根据一元二次方程根与系数的关系，得。
∴点在反比例函数的图象上。
（3）证明：由勾股定理，得，
由（2）得。
同理，将代入，
得，即，
∴。
∴。
又，∴。
∴△OAB是直角三角形，即∠AOB=90⁰。
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

∵∠AOB=90⁰，
∴∠AOE=90⁰-∠BOF=∠OBF。
又∵∠AEO =∠OFB=90⁰，
∴△AEO∽△OFB。∴。
∵OE=，BF=，∴。
∴。