Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b²＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

Answer 1

B

分析：∵二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），∴c=1，a﹣b+c=0。
①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x＞0。∴a与b异号。∴ab＜0，正确。
②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b²﹣4ac＞0。
∵c=1，∴b²﹣4a＞0，即b²＞4a。正确。
④∵抛物线开口向下，∴a＜0。
∵ab＜0，∴b＞0。
∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1。∴b﹣1＜0，即b＜1。∴0＜b＜1，正确。
③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b。∴a+b+c=2b＞0。
∵b＜1，c=1，a＜0，∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2。∴0＜a+b+c＜2，正确。
⑤抛物线y=ax²+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x₀，0），则x₀＞0，
由图可知，当﹣1＜x＜x₀时，y＞0；当x＞x₀时，y＜0。
∴当x＞﹣1时，y＞0的结论错误。
综上所述，正确的结论有①②③④。故选B。