Question

（2013年四川绵阳12分）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；
（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2。
∵y=ax²+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2。
∴抛物线的解析式为y=2x²﹣2。
当y=0时，2x²﹣2=0，解得x=±1。
∴点B的坐标为（1，0）。
（2）设P（m，n），
∵∠PDB=∠BOC=90°，
∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：
①若△OCB∽△DBP，则，即，解得。
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，）或（m，）。
②若△OCB∽△DPB，则，即，解得n=2m﹣2。
由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，
∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）。
综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）。
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x²﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．
如图，过点Q作QE⊥l于点E，

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，
∴∠DBP=∠QPE。
在△DBP与△EPQ中，∵，
∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ。
分两种情况：
①当P（m，）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²﹣2），
∴，解得或（均不合题意舍去）。
②当P（m，2m﹣2）时，
∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²﹣2），
∴，解得或（均不合题意舍去）。
综上所述，不存在满足条件的点Q。

（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax²+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标。
（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标。
（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x²﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2m﹣2）。都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形。