Question

12．在四边形ABCD中，∠D=90°，以AB为直径作半⊙O．
（1）如图1，若⊙O与DC有公共点E，且∠BAE=∠DAE．试说明DC是⊙O的切线；
（2）如图2，若⊙O与DC交于点E、F，图中∠BAF与∠DAE相等吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）连接OE，由于OE分别是AB、CD中点，可知OE是梯形ABCD的中位线，从而有OE∥AD∥BC，而∠D=90°，易求∠OED=90°，从而可知CD是⊙O切线；
（2）连接BF，求出∠BFA=90°，根据圆内接四边形的性质求出∠DEA=∠ABF，即可求出答案．

解答
（1）证明：如图1，连接OE，
∵OA=OE，
∴∠BAE=∠OEA，
∵∠BAE=∠DAE，
∴∠DAE=∠OEA，
∵OE∥AD，
∵∠D=90°，
∴OE⊥CD，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：相等，
理由是：如图2，连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵A、B、F、E四点共圆，
∴∠DEA=∠BAF，
∴∠BAF=∠DAE．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质、切线的判定、圆周角定理、平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．