Question

某商店计划购进某型号的螺丝、螺母进行销售，有关信息如下表：

	原进价（元/个）	零售价（元/个）	成套售价（元/套）
螺丝	a	1.0	2.0
螺母	a-0.3	0.6	2.0

（1）已知用50元购进螺丝的数量与用20元购进螺母的数量相同，求表中a的值；
（2）若该店购进螺母数量是螺丝数量的3倍还多200个，且两种配件的总量不超过3000个．
①该店计划将一半的螺丝配套（一个螺丝和两个螺母配成一套）销售，其余螺丝、螺母以零售方式销售．请问：怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（用含a的代数式表示）
②由于原材料价格上涨，每个螺丝和螺母的进价都上涨了0.1元．按照①中的最佳进货方案，在销售价不变的情况下，全部售出后，所得利润比①少了260元，请问本次成套的销售量为多少？

Answer 1

解：（1）依题意得a=0.5
经检验：a=0.5是原方程的解，且符合题意．

（2）①设购进螺丝x个，则购进螺母（3x+200）个，依题意得
x+（3x+200）≤3000，
x≤700
则成套的卖出时利润为：x[2-a-2（a-0.3）]元；单个螺丝的利润为：x（1-a）；单个螺母的利润为：（3x+200-x）[0.6-（a-0.3）]，
设利润为y元，则，
=（3.6-4a）x+（180-200a）
解法一：
由已知得解得a＜0.9
∵当a＜0.9时，k=3.6-4a＞0，
∴函数y=（3.6-4a）x+（180-200a）中的y随x增大而增大．
∴当x=700时，y_最大=2700-3000a
解法二：
分两种情况讨论：
当3.6-4a＞0，即a＜0.9时，函数y=（3.6-4a）x+（180-200a）中的y随x增大而增大．
∴当x=700时，y_最大=2700-3000a
当3.6-4a≤0时，a≥0.9
∵根据成套销售价应高于成本价可得：a+2（a-0.3）≤2，即a≤
∴此时不符合题意，舍去

②设成套的销售量为m套，则零售的螺丝为（700-m）个，零售的螺母为（2300-2m）个，依题意得：
m[2-a-2（a-0.3）-0.3]+（700-m）（1-a-0.1）+（2300-2m）[0.6-（a-0.3）-0.1]=-0.2m-3000a+2470
故：-0.2m-3000a+2470=2700-3000a-260
解得：m=150
故成套的销售量为150套．
分析：（1）由“用50元购进螺丝的数量与用20元购进螺母的数量相同”可得等量关系求a；
（2）由题意得不等式，再讨论得到结果．
点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质．