Question

某商店计划购进某型号的螺丝和螺母进行销售，相关信息如下表：

	进价（元/个）	售价（元/个）
螺丝	a	4.5
螺母	a-0.5	3.5

已知用300元购进螺丝的数量与用250元购进螺母的数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商店采购员带了7000元去进货，要求购进螺母的数量比购进螺丝数量的4倍少60个，且螺丝的数量不少于548个．
①该采购员可以有几种进货方案？
②该商店计划将一半的螺丝配套销售（1个螺丝和2个螺母配成一套），其余螺丝、螺母全部以零售方式销售．已知一套配件的售价为10.5元．请问：该采购员该怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？

Answer 1

解：（1）依题意，得，
解得，a=3，
经检验，a=3是原方程的解，且符合题意；

（2）①设购进螺丝x个，则购进螺母（4x-60）个，
依题意，得：3x+2.5（4x-60）≤7000，
解得，x≤550，
又∵x≥548，
∴548≤x≤550，
∵x为整数，
∴x=548，549，550．
∴该采购员可以有三种进货方案；
②设当购进螺丝x个时的总利润为y元，
则y=（10.5-3-2.5×2）×x+（4.5-3）×x+（3.5-2.5）×（3x-60），
=5x-60，
∵k=5＞0，y随x的增大而增大，又由①知448≤x≤550，
∴当x=550时，y_最大=5×550-60=2690，此时4x-60=2140；
∴该采购员应该购进螺丝550个，螺母2140个，才能获得最大利润；最大利润是2690元．
分析：（1）依据题意可建立关于a的分式方程，，解答出即可；
（2）①设购进螺丝x个，则购进螺母（4x-60）个，依据题意，可建立一元一次不等式，3x+2.5（4x-60）≤7000，根据x的取值范围，分类讨论解答；
②设当购进螺丝x个时的总利润为y元，建立关于利润的函数关系式，根据x的取值范围，解答出即可；
点评：本题考查了一次函数、一次不等式及分式方程的应用，注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．