题目内容

如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=16cm，点E，F分别沿AB，BC方向运动，速度分别为3cm/s，4cm/s，两点同时出发，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t=2时，点P在AC上移动，若△PEF为直角三角形，则满足条件的点P有______个；
（2）△BEF的面积为S（cm²），求S与t之间的函数关系式；
（3）将△BEF沿EF翻折得到△GEF，四边形EBFG能否为正方形？若能，求出此时t的值；若不能，说明理由；
（4）在（3）的条件下，是否存在时刻t，使得GF∥AC？请说明理由．

解：（1）4；

（2）由题意可知：AE=3t，BF=4t，
∴BE=12-3t．
∴S= $\text{[math]}$ ．

（3）四边形EBFG能为正方形．
要使得四边形EBFG为正方形，只需△BEF为等腰直角三角形，
当BE=BF时，即12-3t=4t，t= $\text{[math]}$ 时，四边形EBFG为正方形．

（4）在（3）的条件下，存在t= $\text{[math]}$ 时，GF∥AC．
理由如下：延长FG交AB于点M，则△ABC∽△MBF∽△MGE，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
∴MF=5t．
∵EG=EB=12-3t，FG=FB=4t，
∴MG=t．
∴t= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）当t=2时，EF是△BAC的中位线，由图形可知，若△PEF为直角三角形，则有∠PEF=90°一种，∠EPF=90°两种，∠PFE=90°一种，共4种；
（2）根据直角三角形的面积公式即可得出S与t之间的函数关系式；
（3）根据正方形的判定，得出△BEF为等腰直角三角形时的t值即可；
（4）延长FG交AB于点M，可得△ABC∽△MBF∽△MGE，根据相似三角形的性质即可求出．
点评：本题综合考查了矩形的性质，三角形的面积公式，翻折变换（折叠问题），正方形的判定，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定的难度．