Question

如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=

3

x

上的一点，且横坐标为3，直线y=-2x+b与x轴，y轴分别交于点Q、P．
（1）当b=3时，求△APQ的面积；
（2）当b为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）将△APQ绕着点A旋转180°得到△AP′Q′，问是否存在b，使线段P′Q′与双曲线有交点？若存在，求出所有满足要求的b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）作AB⊥x轴于点B，求得A、B、P、Q的坐标，依据S_△APQ=S_梯形ABOP-S_△ABQ-S_△OPQ即可求解；
（2）分∠APQ=90°或∠AQP=90°或∠PAQ=90°三种情况进行讨论，依据两直线垂直的条件即可求解；
（3）Q关于A的对称点一定在反比例函数的上边，若线段P′Q′与双曲线有交点，则P'一定在反比例函数或函数的下边，据此即可求得b的范围．

解答：解：（1）作AB⊥x轴于点B．
在反比例函数y=

3

x

中，令x=3，解得：y=1，则A的坐标是（3，1）；
当b=3时，在直线y=-2x+3中，令x=0，解得：y=3，则P的坐标是（0，3）；
令y=0，解得：x=

3

2

，则Q的坐标是（

3

2

，0）．
则AB=1，OB=3，OP=3，
则S_梯形ABOP=

1

2

（AB+OP）•OB=

1

2

（1+3）×3=6，
S_△ABQ=

1

2

QB•AB=

1

2

×

3

2

×1=

3

4

，
则S_△OPQ=

1

2

OQ•OP=

1

2

×

3

2

×3=

9

4

，
则S_△APQ=S_梯形ABOP-S_△ABQ-S_△OPQ=6-

3

4

-

9

4

=3；

（2）当∠APQ=90°时，设直线AP的解析式是y=

1

2

x+b，把A的坐标代入得：

3

2

+b=1，解得：b=-

1

2

，
则直线AP的解析式是：y=

1

2

x-

1

2

，令x=0，解得：y=-

1

2

，则b=-

1

2

；
当∠AQP=90°时，同理，可得直线AQ的解析式是：y=

1

2

x-

1

2

，令y=0，解得x=1，则Q的坐标是（1，0），代入y=-2x+b，得b=2；
当∠PAQ=90°时，P的坐标是（0，b），Q的坐标是（

b

2

，0），则

1-b

3

•

2

3- b 2

=-1，解得：b=4；
（3）设P'的坐标是（x，y），则

x

2

=3，

y+b

2

=1，
解得：x=6，y=2-b，
则P'的坐标是（6，2-b）．
线段P′Q′与双曲线有交点则：

3

6

≥2-b，
解得：b≥

3

2

．

点评：本题是一次函数，反比例函数以及直角三角形的性质的综合应用，正确理解直线垂直的条件，理解线段P′Q′与双曲线有交点的条件是关键．