Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+b与双曲线 交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，有以下结论：①S△AOM＝S△BON；②OA＝OB；③五边形MABNO的面积；④若∠AOB＝45°，则S△AOB＝2k，⑤当AB＝ 时，ON﹣BN＝1；其中结论正确的个数有（　　）

A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个

Answer 1

【答案】B

【解析】

①②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y=-x+b与，得x2-bx+k=0，则x1x2=k，又x1y1=k，比较可知x2=y1，同理可得x1=y2，即ON=OM，AM=BN，可证结论；
③求出AB与x轴、y轴的交点，求出△OCD的面积，由此即可比较出S五边形MABNO＜S△COD，即 ；
④作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S△AOB=k；
⑤延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1．

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入 中，得x1y1＝x2y2＝k，

联立 ，得x2﹣bx+k＝0，

则x1x2＝k，又x1y1＝k，

∴x2＝y1，

同理x2y2＝k，

可得x1＝y2，

∴ON＝OM，AM＝BN，

∴①△AOM≌△BON，故本选项正确；

②由①可知，OA＝OB，故本选项正确；

③如图1，

∵直线AB与坐标轴的交点为（0，b），（b，0），

∴S△COD＝bb＝b2，

由图可知，S五边形MABNO＜S△COD，即 ，故本选项正确．

④图2，作OH⊥AB，垂足为H，

∵OA＝OB，∠AOB＝45°，

∵①△AOM≌△BON，故本选项正确；

∴∠MOA＝∠BON＝22.5°，

∠AOH＝∠BOH＝22.5°，

∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，

∴S△AOB＝S△AOH+S△BOH＝S△AOM+S△BON＝k+k＝k，故本选项错误；

⑤如图3，延长MA，NB交于G点，

∵NG＝OM＝ON＝MG，BN＝AM，

∴GB＝GA，

∴△ABG为等腰直角三角形，

当AB＝时，GA＝GB＝1，

∴ON﹣BN＝GN﹣BN＝GB＝1，

∴当AB＝时，ON﹣BN＝1，故本选项正确．

正确的结论①②③⑤．

故选：B．