Question

13．如图，正方形ABCD的边与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH、FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①GH⊥BE②HO$\frac{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BG；③GH²=GM•GE；④△GBE∽△GMF，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；
②由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得出②正确；
③当∠FME=90°时，根据射影定理可得GH²=GM•GE，但∠FOE=90°，得出③错误
④连接CF，证明点H在正方形CGFE的外接圆上，得到∠HFC=∠CGH，由∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，得出∠FMG=∠GBE，得出△GBE∽△GMF，④正确．

解答 解：①∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCE=∠DCG}&{\;}\\{CE=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE=90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
②∵GH是∠EGC的平分线，
∴∠BGH=∠EGH，
在△BGH和△EGH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BGH=∠EGH}&{\;}\\{GH=GH}&{\;}\\{∠GHB=∠GHE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO是△EBG的中位线
∴HO∥BG，HO=$\frac{1}{2}$BG，
故②正确；
③当∠FME=90°时，根据射影定理可得GH²=GM•GE，
但由题意得：∠FOE=90°，
因此③错误；
④连接CF，如图所示：由（1）得△EHG是直角三角形，
∵O为EG的中点，
∴OH=OG=OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∴∠HFC=∠CGH，
∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，
∴∠FMG=∠GBE，
又∵∠EGB=∠FGM=45°，
∴△GBE∽△GMF．
故④正确，
故选：C．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定、射影定理、圆周角定理等知识；熟练掌握正方形的性质，本题有一定难度，证明三角形全等和相似是解决问题的关键．