Question

6．如图，CE是⊙O的直径，AC为⊙0的切线，D为⊙O上的一点，∠A=2∠DCE，延长AD交CE的延长线于点B，连接CD．若BE=OE=2．
（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）连接OD，由AD=AC，OD=OC，可得∠ADC=∠ACD，∠ODC=∠OCD，又CA为切线，可知∠ADO=∠ACB=90°，可得AD为切线；
（2）根据勾股定理求出BD，分别求出△ODB和扇形DOE的度数，即可得出答案．

解答 （1）证明：如图，连接OD，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC+∠ODC=∠ACD+∠OCD，
即∠ADO=∠ACB，
∵CE是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴BC⊥AC，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
∴AD为⊙O的切线；

（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，
由勾股定理得：BD=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积S=S_△ODB-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题主要考查切线的性质和判定及扇形的计算，掌握切线问题中的两种辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键．