Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；
（3）根据题意画出图形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CD．
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8．
∴线段CD的长为4.8．

（2）由题可知有两种情形，
设DP=t，CQ=t．则CP=4.8-t．
①当PQ⊥CD时，如图a
∵△QCP∽△△ABC
∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CP}{BC}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{4.8-t}{6}$，
∴t=3；
②当PQ⊥AC，如图b．
∵△PCQ∽△ABC
∴$\frac{CP}{AB}$=$\frac{CQ}{BC}$，即$\frac{4.8-t}{10}$=$\frac{t}{6}$，解得t=$\frac{9}{5}$，
∴当t为3或$\frac{9}{5}$时，△CPQ与△△ABC相似；

（3）①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8-t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{t}{2}$．
∵△CHP∽△BCA．
∴$\frac{CH}{BC}$=$\frac{CP}{AB}$．
∴$\frac{\frac{t}{2}}{6}$=$\frac{4.8-t}{10}$，解得t=$\frac{144}{55}$．
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t=$\frac{24}{11}$．
综上所述：当t为2.4秒或$\frac{144}{55}$秒或$\frac{24}{11}$秒时，△CPQ为等腰三角形．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意进行分类讨论．