Question

14．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．则第2016个正方形的边长为（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵．

Answer 1

分析 首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=1，∠B=90°，
∴AC²=1²+1²，AC=$\sqrt{2}$；
同理可求：AE=（$\sqrt{2}$）²，HE=（$\sqrt{2}$）³…，
∴第n个正方形的边长a_n=（$\sqrt{2}$）^n-1，
∴第2016个正方形的边长为（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵，
故答案为：（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵．

点评 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a_n的规律是解题的关键．